树分块学习笔记

最近发现 OI Wiki 的“树分块”是空的,本来想凭着之前写的莫队教程水一水,结果被告知已经有人写过树上莫队了..于是就得详细介绍一下树分块除了树上莫队以外的应用..然而我除了糖果公园只做过一道树分块..(结果最后并没有找到这道题以外的其它题..)

树分块的方式

可以参考 OI Wiki/莫队算法/真-树上莫队

也可以参考 ouuan的博客/莫队、带修莫队、树上莫队详解/树上莫队

树上莫队同样可以参考以上两篇文章。

树分块的应用

树分块除了应用于莫队,还可以灵活地运用到某些树上问题中。但可以用树分块解决的题目往往都有更优秀的做法,所以相关的题目较少。

顺带提一句,“gty的妹子树”的树分块做法可以被菊花图卡掉。

BZOJ4763 雪辉

先进行树分块,然后对每个块的关键点,预处理出它到祖先中每个关键点的路径上颜色的 bitset,以及每个关键点的最近关键点祖先,复杂度是 $\mathcal O(n\sqrt n+\frac{nc}{32})​$,其中 $n\sqrt n​$ 是暴力从每个关键点向上跳的复杂度,$\frac{nc}{32}​$ 是把 $\mathcal O(n)​$ 个 bitset 存下来的复杂度。

回答询问的时候,先从路径的端点暴力跳到所在块的关键点,再从所在块的关键点一块一块地向上跳,直到 $lca$ 所在块,然后再暴力跳到 $lca$。关键点之间的 bitset 已经预处理了,剩下的在暴力跳的过程中计算。单次询问复杂度是 $\mathcal O(\sqrt n+\frac c{32})$,其中 $\sqrt n$ 是块内暴力跳以及块直接向上跳的复杂度,$\mathcal O(\frac c{32})$ 是将预处理的结果与暴力跳的结果合并的复杂度。数颜色个数可以用 bitset 的 count(),求 $\operatorname{mex}$ 可以用 bitset 的 _Find_first()

所以,总复杂度为 $\mathcal O((n+m)(\sqrt n+\frac c{32}))​$。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <bitset>
#include <algorithm>

using namespace std;

int read()
{
int out=0;
char c;
while (!isdigit(c=getchar()));
for (;isdigit(c);c=getchar()) out=out*10+c-'0';
return out;
}

const int N=100010;
const int B=666;
const int C=30000;

void add(int u,int v);
void dfs(int u);

int head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],cnt;
int n,m,type,c[N],fa[N],dep[N],sta[N],top,tot,bl[N],key[N/B+5],p[N],keyid[N];
bool vis[N];
bitset<C> bs[N/B+5][N/B+5],temp;

int main()
{
int i,u,v,x,y,k,lastans=0;

n=read();
m=read();
type=read();

for (i=1;i<=n;++i) c[i]=read();

for (i=1;i<n;++i)
{
u=read();
v=read();
add(u,v);
add(v,u);
}

dfs(1);

if (!tot) ++tot;
if (keyid[key[tot]]==tot) keyid[key[tot]]=0;
key[tot]=1;
keyid[1]=tot;
while (top) bl[sta[top--]]=tot;

for (i=1;i<=tot;++i) //预处理
{
if (vis[key[i]]) continue;
vis[key[i]]=true;
temp.reset();
for (u=key[i];u;u=fa[u])
{
temp[c[u]]=1;
if (keyid[u])
{
if (!p[key[i]]&&u!=key[i]) p[key[i]]=u;
bs[keyid[key[i]]][keyid[u]]=temp;
}
}
}

while (m--)
{
k=read();
temp.reset();
while (k--)
{
u=x=read()^lastans;
v=y=read()^lastans;

while (key[bl[x]]!=key[bl[y]])
{
if (dep[key[bl[x]]]>dep[key[bl[y]]])
{
if (x==u) //若是第一次跳先暴力跳到关键点
{
while (x!=key[bl[u]])
{
temp[c[x]]=1;
x=fa[x];
}
}
else x=p[x]; //否则跳一整块
}
else
{
if (y==v)
{
while (y!=key[bl[v]])
{
temp[c[y]]=1;
y=fa[y];
}
}
else y=p[y];
}
}

if (keyid[x]) temp|=bs[keyid[key[bl[u]]]][keyid[x]];
if (keyid[y]) temp|=bs[keyid[key[bl[v]]]][keyid[y]];

while (x!=y)
{
if (dep[x]>dep[y])
{
temp[c[x]]=1;
x=fa[x];
}
else
{
temp[c[y]]=1;
y=fa[y];
}
}
temp[c[x]]=true;
}
int ans1=temp.count(),ans2=(~temp)._Find_first();
printf("%d %d\n",ans1,ans2);
lastans=(ans1+ans2)*type;
}

return 0;
}

void dfs(int u)
{
int i,v,t=top;
for (i=head[u];i;i=nxt[i])
{
v=to[i];
if (v==fa[u]) continue;
fa[v]=u;
dep[v]=dep[u]+1;
dfs(v);
if (top-t>=B)
{
key[++tot]=u;
if (!keyid[u]) keyid[u]=tot;
while (top>t) bl[sta[top--]]=tot;
}
}
sta[++top]=u;
}

void add(int u,int v)
{
nxt[++cnt]=head[u];
head[u]=cnt;
to[cnt]=v;
}

BZOJ4812 由乃打扑克

这题和上一题基本一样,唯一的区别是得到 bitset 后如何计算答案。

由于BZOJ是计算所有测试点总时限,不好卡,所以可以用 _Find_next() 水过去。

正解是每 $16$ 位一起算,先预处理出 $2^{16}$ 种可能的情况高位连续 $1$ 的个数、低位连续 $1$ 的个数以及中间的贡献。只不过这样要手写 bitset,因为标准库的 bitset 不能取某 $16$ 位..

代码可以参考这篇博客