Surreal Numbers 阅读笔记

今天模拟赛遇到了一道需要超现实数的题目,赛后在阅读 Matrix67 的博客 时听说了唐纳德所著的《Surreal Numbers》(中译:研究之美)这本书,于是就阅读了一下。

大约会把书里的定理证一遍吧..

学习超现实数的时候请假装自己不知道关于数字的一切知识,并且不要把定义的名字真的当回事(某些定义有着熟悉的名字,但可能与我们熟知的意义相同,也可能不同)。

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本文可能比较咕,不知道什么时候能填完坑…

Conway’s rules

翻译挺神仙的

创生二道,大小诸数盖由此出。

  1. 凡数,皆合于前创二数之集,其位左者,无一大于或似于其位右者。

  2. 甲数小于或似于乙数,当且仅当甲数之左集中无一大于或似于乙数,且乙数之右集中无一小于或似于甲数。

Conway 检视二道,连呼妙哉!此二道真妙绝。

Definitions

Symbols

比较运算符上画一道斜线表示不满足该运算符。

$x\le y$ 表示 $x$ 小于或似于 $y$。

$x\ge y$ 表示 $y\le x$。

$x\equiv y$ 表示 $x$ 似于 $y$,即 $x\le y$ 且 $y\le x$。

根据下文会介绍的定理 (T4),“不小于或似于” 即 “大于且不似于”,所以可以定义 $x<y$ 表示 $x\not\ge y$,$x>y$ 表示 $x\not\le y$。

$A\le x​$($A​$ 是一个集合,$x​$ 是一个数)表示 $A​$ 中任意一个元素都 $\le x​$。(其它运算符类似)

$x\le A$($A$ 是一个集合,$x$ 是一个数)表示 $A\ge x​$。(其它运算符类似)

$A\le B$($A$ 和 $B$ 都是集合)表示 $A$ $\le$ $B$ 中任意一个元素。(其它运算符类似)

Number

一个数 $x$ 可以表示为 $(X_L,X_R)$ 的形式,其中 $X_L$ 表示 $x$ 的左集,$X_R$ 表示 $x$ 的右集。即 $x=(X_L,X_R)$。

$x_L$ 表示 $X_L$ 中的一个元素,$x_R$ 表示 $X_R$ 中的一个元素。

Rule #1

$$x_L\not\ge x_R$$

Rule #2

$$x\le y\Leftrightarrow X_L\not\ge y\land Y_R\not\le x$$

Theorems

T1

$$x\le y\land y\le z\Rightarrow x\le z​$$

证明

假设该命题不成立,即存在 $x\le y,y\le z,x\not\le z​$。

$\because x\not\le z$

$\therefore \exists x_L\ge z\lor\exists z_R\le x​$

当 $x_L\ge z$ 时

​ $\because x\le y$

​ $\therefore x_L\not\ge y​$

​ $\therefore y\le z,z\le x_L,y\not\le x_L​$

当 $z_R\le x$ 时

​ $\because y\le z$

​ $\therefore z_R\not\le y$

​ $\therefore z_R\le x,x\le y,z_R\not\le y$

综上,无论是哪种情形,都会得到新的一组不满足原命题的数,而这组数的其中一个数会比原来的三个数中的一个创造的早,新的这组数的另外两个数就是原来的三个数中另外两个数。这样的话,若出现了一组不满足原命题的数,创造时间就会不断向前追溯,而追溯是有尽头的,因此这种情形不可能出现。

证毕。

T2

$$X_L\le x\le X_R$$

证明

T3

$x\le x$

证明

T4

$$x\not\le y\Rightarrow y\le x$$

证明

T5

$$x<y\land y\le z\Rightarrow x<z$$

证明

T6

$$x\le y\land y<z\Rightarrow x<z$$

证明

T7

$$Y_L<x<Y_R\Rightarrow x\equiv(x_L\bigcup Y_L,x_R\bigcup Y_R)$$

证明

(本文咕咕中……)