逻辑上的关联：推导

推导有五种类型（如果方向固定则是六种）：

• 充分条件/必要条件：A 对则 B 对，B 错则 A 错。
• 充分反驳：A 对则 B 错，B 对则 A 错。
• 必要反驳：A 错则 B 对，B 错则 A 对。
• 等价：A 与 B 的正误相同。
• 对立：A 与 B 的正误相反。

只有“充分条件/必要条件”是有方向的：A 是 B 的充分条件则 B 是 A 的必要条件；其它四类推导都是“互为”的。

没有单向的推导，也就是说，如果存在 A 到 B 的推导，自动地就会有相应的 B 到 A 的推导。

“推导”与“实质蕴含”的区别 —— 隐含的全称量词

下面这部分解释了为什么在 debate 中“A 是 B 的必要反驳”和“A 或 B”是两个不同的命题，以及为什么“A 不是 B 的充分条件”和“B 是正确的”并不冲突。如果你觉得它们不需要解释，恭喜你，你在用正常人的思维思考，或者是你在进行逻辑推理时并没有犯下面提到的错误，你可以跳过下面这段不看了。

“推导”和“实质蕴含”并不是完全相同的。在 debate 的推导当中，隐含了全称量词。也就是说，推导是在任何情况下（根据讨论的上下文和一般人的理解，实际上是在合理的情况下而非任何情况下）都成立的（这里提醒一下，根据爆炸原理，若 \(p\) 不成立则 \(p \Rightarrow q\) 一定成立，不要把“推导成立”理解为 \(p\) 也得成立）。

形式化地说，当 \(p(x)\) 是 \(q(x)\) 的充分条件（debate 中的“充分条件”，而非逻辑学中的“充分条件”）时，表达的是 \(\forall x, p(x) \Rightarrow q(x)\)。这个 forall 非常重要。

例如，我们可以说 \(\forall x\in\mathbb{R}, x^2=1 \Rightarrow x=1\) 是错的，但如果 \(x\) 的值未知，就不能说 \(x^2=1 \Rightarrow x=1\) 是错的。

下面我来编两段对话来试图生动地说明这个问题：

情景一

王七：如果明天不下雨，我们就出去玩吧！

张三：我觉得不太行诶。明天下雨并不是明天出去玩的必要反驳。

（第二天）

王七：今天没下雨！啊，但是，张三好像说他就算不下雨也不想出去玩..

张三：我没说过这话啊。我说的是，今天不下雨也不一定出去玩，而不是今天不下雨就一定不出去玩。

我们令“明天下雨”为命题 \(p(x)\)，“明天出去玩”为命题 \(q(x)\)，那么，王七提出的命题是 \(\forall x, \neg p(x) \Rightarrow q(x)\)，也就是“无论如何，只要明天不下雨，就出去玩”；而张三反驳王七的观点，他的意思是 \(\exists x, \neg p(x) \land \neg q(x)\)，也就是“有可能明天不下雨但也不出去玩”。

情景二

王八：要么明天下雨，要么明天出去玩！

张四：我觉得不太行诶。我反对“下雨或者出去玩”。

张四（旁白）：知道我为什么敢这么说吗，我夜观天象，明天肯定下不了雨。

（第二天）

王八（旁白）：今天没下雨！我听我哥哥王七说，张三第一天也是说不出去玩，到了第二天又说去了；他弟弟张四应该也差不多吧。

王八：张四！我们出去玩吧！

张四：我昨天都明确说过了，我反对“下雨或出去玩”。学过反演规则的都知道，这是在说，“不下雨且不出去玩”。

这里，王八提出的命题是 \(p(x) \lor q(x)\)，这个命题等价于 \(\neg p(x) \Rightarrow q(x)\)，但没有 forall。此时，对其的否定反而成了“无论如何”，于是张四就是彻底地拒绝了王八的邀请。