二维莫队解题报告

我写的莫队教程

其实这是一道bzoj上的题（bzoj2639，貌似是权限题，反正我看不了），在YALI做模拟赛的时候遇到了.

然后在网上查到了几篇关于这道题的博客，都和我的做法略有不同…

题目大意

给你一个 $r*c$ 的矩阵，每个点有一个颜色， $m$ 个询问，每次询问一个子矩阵内，每种颜色出现次数的平方和。

$r,c\le 200,m\le 100000$

做法简述

首先我们要明白，莫队究竟在干什么。

莫队其实就是几个指针在那跳来跳去，每跳一步都需要一定的时间，通过对询问排序使得指针跳的总次数尽量小。

所以，这题中询问为 $(x_1,y_1,x_2,y_2)$ ，也就是四个指针在那跳，分别分块再排序就可以了，即：

//为避免和cmath库中的y0y1重名，下文中代码内的x1,y1,x2,y2都用x,y,xx,yy代替
struct Query
{
    int x,y,xx,yy,id;
    bool operator<(Query& b)
    {
        return x/B==b.x/B?(y/B==b.y/B?(xx/B==b.xx/B?yy<b.yy:xx<b.xx):y<b.y):x<b.x; //B为分块大小
    }
} q[M];

答案更新

一般的莫队都是 $O(1)$ 更新答案的，然而这题是 $O(n)$ （用 $n$ 代表 $r,c$ ） 更新。

移动指针的时候，把一排一起修改。

需要注意的是，8个while的顺序如果排列不当在某些情况下会导致答案出错，所以最好是将所有add都放在del前面（实际上有多种排列顺序都可以在不进行“反操作”的情况下保证答案正确，所有add放在del前面只是其中一种），或者是对“反区间”进行“反操作”。

所谓“反区间”，如：修改 $x_1$ 指针时，本应进行add操作，而此时$y_1>y_2+1$，那么就要将 $(y_2,y_1)$ 这个开区间内的所有点进行del。

while的排列顺序得当可以使“反区间”不可能出现。

“反操作”参考代码：

while (x<q[i].x)
{
    for (j=y;j<=yy;++j)
    {
        del(a[x][j]);
    }
    for (j=yy+1;j<y;++j)
    {
        add(a[x][j]);
    }
    ++x;
}
while (y<q[i].y)
{
    for (j=x;j<=xx;++j)
    {
        del(a[j][y]);
    }
    for (j=xx+1;j<x;++j)
    {
        add(a[j][y]);
    }
    ++y;
}
while (xx>q[i].xx)
{
    for (j=y;j<=yy;++j)
    {
        del(a[xx][j]);
    }
    for (j=yy+1;j<y;++j)
    {
        add(a[xx][j]);
    }
    --xx;
}
while (yy>q[i].yy)
{
    for (j=x;j<=xx;++j)
    {
        del(a[j][yy]);
    }
    for (j=xx+1;j<x;++j)
    {
        add(a[j][yy]);
    }
    --yy;
}
while (x>q[i].x)
{
    --x;
    for (j=y;j<=yy;++j)
    {
        add(a[x][j]);
    }
    for (j=yy+1;j<y;++j)
    {
        del(a[x][j]);
    }
}
while (y>q[i].y)
{
    --y;
    for (j=x;j<=xx;++j)
    {
        add(a[j][y]);
    }
    for (j=xx+1;j<x;++j)
    {
        del(a[j][y]);
    }
}
while (xx<q[i].xx)
{
    ++xx;
    for (j=y;j<=yy;++j)
    {
        add(a[xx][j]);
    }
    for (j=yy+1;j<y;++j)
    {
        del(a[xx][j]);
    }
}
while (yy<q[i].yy)
{
    ++yy;
    for (j=x;j<=xx;++j)
    {
        add(a[j][yy]);
    }
    for (j=xx+1;j<x;++j)
    {
        del(a[j][yy]);
    }
}
out[q[i].id]=ans;

分块大小

具体计算清楚非常复杂，这里只是估算一下.

$x_1$ 指针的移动次数为 $O(mB)$，$y_2$ 指针的移动次数渐进复杂度中含有 $O\left(\frac{n^4}{B^3}\right)$，取 $mB=\frac{n^4}{B^3}$，得到 $B=nm^{-\frac{1}{4}}$

总时间复杂度为 $O(mlogm+n^2m^{\frac{3}{4}})$

反正这样的分块大小实测比 $\sqrt{n}$ 优秀…有兴趣的话可以严谨地算一算（如果发现我这个估算有问题可以直接在这篇博客下评论）

初始子矩阵

任意一个空矩阵就可以了，如 $x_1=y_1=1,x_2=y_2=0$

参考代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;

const int N=210;
const int M=100010;

void add(int x);
void del(int x);

int r,c,m,B,a[N][N],lsh[N*N],tot,cnt[N*N],ans,out[M];

struct Query
{
    int x,y,xx,yy,id;
    bool operator<(Query& b)
    {
        return x/B==b.x/B?(y/B==b.y/B?(xx/B==b.xx/B?yy<b.yy:xx<b.xx):y<b.y):x<b.x;
    }
} q[M];

int main()
{
    int i,j,x=1,y=1,xx=0,yy=0;

    cin>>r>>c>>m;

    B=pow(r*c,0.5)/pow(m,0.25)+1.0;

    for (i=1;i<=r;++i)
    {
        for (j=1;j<=c;++j)
        {
            cin>>a[i][j];
            lsh[tot++]=a[i][j]; //这题要离散化
        }
    }

    sort(lsh,lsh+tot);
    tot=unique(lsh,lsh+tot)-lsh;

    for (i=1;i<=r;++i)
    {
        for (j=1;j<=c;++j)
        {
            a[i][j]=lower_bound(lsh,lsh+tot,a[i][j])-lsh;
        }
    }

    for (i=0;i<m;++i)
    {
        cin>>q[i].x>>q[i].y>>q[i].xx>>q[i].yy;
        q[i].id=i;
    }

    sort(q,q+m);

    for (i=0;i<m;++i)
    {
        while (x>q[i].x)
        {
            --x;
            for (j=y;j<=yy;++j)
            {
                add(a[x][j]);
            }
        }
        while (xx<q[i].xx)
        {
            ++xx;
            for (j=y;j<=yy;++j)
            {
                add(a[xx][j]);
            }
        }
        while (y>q[i].y)
        {
            --y;
            for (j=x;j<=xx;++j)
            {
                add(a[j][y]);
            }
        }
        while (yy<q[i].yy)
        {
            ++yy;
            for (j=x;j<=xx;++j)
            {
                add(a[j][yy]);
            }
        }
        while (x<q[i].x)
        {
            for (j=y;j<=yy;++j)
            {
                del(a[x][j]);
            }
            ++x;
        }
        while (xx>q[i].xx)
        {
            for (j=y;j<=yy;++j)
            {
                del(a[xx][j]);
            }
            --xx;
        }
        while (y<q[i].y)
        {
            for (j=x;j<=xx;++j)
            {
                del(a[j][y]);
            }
            ++y;
        }
        while (yy>q[i].yy)
        {
            for (j=x;j<=xx;++j)
            {
                del(a[j][yy]);
            }
            --yy;
        }
        out[q[i].id]=ans;
    }

    for (i=0;i<m;++i)
    {
        cout<<out[i]<<endl;
    }

    return 0;
}

void add(int x)
{
    ans=ans+2*cnt[x]+1;
    ++cnt[x];
}

void del(int x)
{
    ans=ans-2*cnt[x]+1;
    --cnt[x];
}